Arquetipos Matemáticos

ARQUETIPOS
MATEMÁTICOS

“Todo arquetipo es siempre una abstracción” (Pierre Janet)

“Los arquetipos son metáforas que nos impulsan y nos sirven de modelo” (Carlos Alberto Churba)

Arquetipos Numéricos
En matemática siempre ha habido una búsqueda más o menos consciente, de unos primeros principios, de unas categorías o arquetipos primarios o fundamentales. Fundamentar la matemática de esta forma es hacerlo desde la conciencia, con el principio de causalidad descendente, es decir, desde lo general o universal a lo particular. Estas categorías o arquetipos primarios deben ser forzosamente del máximo nivel de abstracción y simplicidad.

Para los físicos Pauli y Heisenberg, las fuerzas arquetípicas son “intuiciones matemáticas primarias”, y que el fundamento esencial de la naturaleza son abstracciones matemáticas de orden y simetría.

Como hemos mencionado anteriormente, históricamente ha habido intentos de fundamentación de la matemática considerando los conceptos de número, conjunto, categoría, estructura y función. Pero estos tres últimos no son realmente arquetipos porque son conceptos compuestos; no son conceptos puros, primarios. Por lo tanto, vamos a considerar los conjuntos y los números.

Los conjuntos y secuencias puras

Los conjuntos “puros” son los que se construyen recursivamente a partir del conjunto vacío de la manera siguiente:

₀

₁

₀

₂

₀

₁

₃

₀

₁

₂

La cardinalidad del conjunto C_i es i.

Análogamente, las secuencias “puras” se construyen a partir de la secuencia vacía:

₀

₁

₀

₂

₀

₁

₃

₀

₁

₂

Aunque Conjunto y Secuencia son arquetipos primarios, los conjuntos y secuencias puras son arquetipos secundarios porque hay un patrón y no elementos concretos, como en el concepto de número.

Los números naturales como arquetipos

Los números naturales nacieron de la armonización o superación de la dualidad. Del 1 y del 2 nació el 3, y con el 3 nacieron los infinitos números naturales.

Con los números naturales surgieron todos los conceptos matemáticos, entre ellos: la aritmética, el cero, los números negativos, los números fraccionarios, los números reales, los números imaginarios, el álgebra (generalización de la aritmética), el orden, el conjunto, la secuencia, la cardinalidad, los símbolos, las variables, el sistema de numeración decimal, el cálculo diferencial e integral, el algoritmo, la función, el principio de inducción, la geometría analítica, el álgebra matricial, vectorial, geométrica, etc. “Dios creó los enteros, todo lo demás es obra del hombre” (Kronecker).

Para Pitágoras, el número es el principio de todas las cosas, la esencia y fundamento de todo lo que existe. Y que para comprender el universo había que profundizar en el secreto de la armonía de los números.

Para Jung y Pauli, los números son arquetipos primarios, por lo que deberían formar parte del “lenguaje neutro” que ambos buscaban, para expresar lo físico y lo psíquico. Para Jung, los números son arquetipos que se han hecho conscientes.

Los números son arquetipos, intermediarios entre el mundo interno y el externo, entre lo profundo y lo superficial. Los números no los podemos “ver”, pero los podemos intuir, como todos los arquetipos. Residen en lo profundo y solo podemos ver sus manifestaciones en el mundo físico.

Según la numerología, todo número tiene un significado, una vibración (como una nota musical), un simbolismo asociado y evoca un estado de conciencia.

Un número es tanto más profundo (o más sintético) cuanto más manifestaciones tiene. Un número superficial es más analítico (o más sintético) y tiene menos manifestaciones.

De entre todos los números naturales, los primeros son los más importantes, sintéticos y profundos:

El 0. Este número es arquetípico por dos razones. En primer lugar, porque une los opuestos, pues cada número positivo tiene su opuesto (el número negativo), y ambos suman cero. En segundo lugar, por sus múltiples manifestaciones en los diversos campos de la matemática, en la filosofía e incluso en el misticismo.

Antiguamente, los números negativos eran considerados números imaginarios. En este sentido, el cero conecta lo real con lo imaginario.

El 0 simboliza la conciencia pura, el Ser, la trascendencia, lo absoluto y lo indiferenciado: el vacío y también lo completo. Su símbolo es un círculo. En la filosofía oriental, el cero simboliza las infinitas posibilidades. El 0 deriva del concepto de sunya hindú, que significa “vacío”.
El 1. Este número es un arquetipo porque es el origen y fuente de todos los números y a la vez está presente en todos ellos. Todos los números emanan del 1. El 1 representa la unidad esencial de todas las cosas. Para los pitagóricos, el 1 no era considerado realmente un número, sino la fuente de todos los números. El 1 es la fuente de todos los números en un doble sentido: 1) porque forma parte de todos los números; 2) porque todo número es un número (el 2 es un número, el 3 es un número, etc.).

El 1 es el número divino por excelencia. Heráclito lo identificaba con Dios, Plotino con la inteligencia universal, y el Yajur-Veda con el Ser. “El Tao engendra Uno. El Uno engendra a Dos. El Dos engendra el Tres. El Tres engendra las diez mil cosas” (Tao Te King).

Cuanto más nos alejamos del 1, más nos adentramos en lo superficial y particular. Y cuanto más nos acercamos al 1, más nos acercamos a lo profundo. El 1 es el fundamento y la conciencia de todos los números. El 1 simboliza la conciencia porque está en todos los números. Todos los números están conectados con lo profundo a través del 1.

El 1 es lo opuesto a la nada. El 1 es la primera manifestación de la conciencia. Y solo tiene sentido en relación al 0, al vacío. El 0 y el 1 constituyen la dualidad fundamental. Cuando percibimos un objeto, estamos implícitamente conectando con el arquetipo 1. El 1 conecta la unidad y la diversidad.

Todo número tiene una propiedad cuantitativa y cualitativa, pero en el 1 ambas propiedades coinciden, no pueden separarse: el 1 es a la vez cuantitativo y cualitativo.
El 2 simboliza la dualidad, la confrontación, la división entre fuerzas opuestas. Después del 1, el número más importante es el 2, pues está presente en la mitad de los números (los números pares).
El 3 es el número de la conciencia, el número que armoniza y trasciende los opuestos, que los considera complementarios desde un nivel superior. Simboliza el Cielo, el equilibrio, la paz y la conciencia. Está representado por un triángulo. En masonería, es el símbolo del triángulo con el ojo que todo lo ve.
El 4 simboliza la Tierra. Es el arquetipo de de lo manifestado o creado. Está representado como un cuadrado.
El 5 es el éter, la quintaesencia de los alquimistas. Está simbolizado por la estrella de 5 puntas, en la que se inscribe la figura humana, por lo que es el símbolo del hombre. Hace referencia a sí mismo, como la proporción áurea que está implícita en la estrella de 5 puntas. Es el punto de la intersección de la cruz.
Los números primos (los que no son divisibles más que por sí mismos y por la unidad) son arquetipos matemáticos porque hacen referencia a la unidad, a sí mismos y a todos los números.

Los números primos son números profundos o primitivos, pues forman parte de todos los demás números. Los números compuestos (los no primos) son números más superficiales, más analíticos, menos sintéticos.

Los números primos han puesto en comunicación muchas áreas de la matemática (teoría de números, geometría, análisis, lógica, teoría de la probabilidad) e incluso de la física (física cuántica).
La unidad imaginaria (i). Según Jung, unifica consciente e inconsciente, el mundo interno y el externo. La unidad imaginaria aparece en muchos campos: geometría, electromagnetismo, física cuántica, relatividad, etc.

Números perfectos y números amigos

Un número perfecto es un número que cumple la propiedad de que la suma de sus divisores propios (es decir, excluyéndose a si mismo) es el propio número. Un número perfecto es autorreferencial, hace referencia así mismo. Pitágoras descubrió que todos los números perfectos son el resultado de la suma de números consecutivos a partir del uno. Los primeros números perfectos son:

Dos números son “amigos” si la suma de los divisores propios de uno es el otro y viceversa. Por ejemplo, 220 y 284 son amigos porque

Según esta definición, un número perfecto es amigo de sí mismo.

El número 6 es el único número que es a la vez perfecto y factorial:

6 = 1+2+3 = 3! = 1·2·3 Para los pitagóricos, los números perfectos poseen propiedades místicas. Y así es, porque estos números son más profundos, al confluir en ellos dos propiedades: ser números sumatorios y a la vez ser la suma de sus divisores propios.

Los factoriales y los sumatorios

El factorial de un número natural n (simbolizado por n!) es el producto de los n primeros números. Los primeros factoriales son:

Los factoriales se pueden considerar “anti-primos”, en el sentido de que son los más superficiales, frente a los primos que son profundos y esenciales.

Los números sumatorios son como los factoriales, pero con la operación de suma, en lugar de con la de producto. Son números triangulares, números que por su forma conectan con la geometría. Los primeros sumatorios son:

La fórmula general es:

Todos los números perfectos son sumatorios, es decir, triangulares. Un número triangular de n filas contiene n números triangulares:

Es un número fractal o recursivo.

La escala de la conciencia de los números

La división tradicional de los números irracionales es: algebraicos y trascendentes, según que sean o no raíces de ecuaciones polinómicas con coeficientes racionales. Pero desde el punto de vista de la causalidad descendente y los arquetipos, es mejor clasificar los números reales en:

Conscientes.
Son los números naturales, los enteros y los racionales. Son todos expresables y computables mediante un número finito de expresiones aritméticas. Son arquetipos que se han hecho conscientes, como dice Jung.
Inconscientes.
Son los números irracionales, que son inexpresables e incomputables. No pueden expresarse mediante una expresión finita. La inmensa mayoría de los números reales son de este tipo. Los números conscientes son una ínfima parte.

La palabra irracional aquí tiene un doble sentido: 1) un número irracional no puede expresarse como la razón (división) entre dos números enteros; 2) un número irracional como no accesible por la razón, sino por la intuición.

Los pitagóricos descubrieron los números irracionales y los denominaron “alogos”, es decir, inexpresables.

Nivel Categoría de Números
Consciente (expresable) Naturales
Enteros
Racionales
Consciente-Inconsciente Irracionales expresables
Inconsciente (inexpresable) Irracionales inexpresables
Entre los números expresables y los inexpresables, se encuentran los números que son expresables (describibles) mediante un número infinito de expresiones aritméticas porque tienen un patrón, o bien se expresan mediante una función recursiva (lo que implica implícitamente también el infinito).

Estos números no son accesibles (como todos los irracionales) pero podemos aproximarnos a ellos de manera sistemática y formal todo lo que queramos (por ejemplo, del número  se han calculado del orden de 1013 cifras decimales). Son arquetipos de segundo orden (o secundarios), pues se expresan mediante los arquetipos primarios de suma y resta y sus derivados aritméticos.

Ejemplos de arquetipos de segundo orden

El número π es un arquetipo porque, porque además de ser un número trascendente, conecta lo lineal y lo circular.
En esta fórmula los numeradores son números primos (p). El denominador es p+1 o p−1, según que el resto de (p+1)/4 o (p−1)/4 sea 2.
En esta fórmula, el signo de cada término solo es negativo cuando el denominador de la fracción es un primo de la forma 4k+1. Si el número es compuesto, se multiplican los signos de cada primo.

También se puede representar como fracciones continuas:

El número π aparece, no solo en geometría y aritmética. También aparece en otros campos, como teoría de la probabilidad y física cuántica.
El número e, definido como el límite de (1+1/n)ⁿ cuando n tiende a infinito.
Se puede expresar también como una fracción continua: e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1,…], de patrón 1, 2k, 1, siendo [a₀; a₁, a₂, a₃,...] la fracción continua

El número e aparece en múltiples campos: geometría, finanzas, dinámica de poblaciones, procesos de crecimiento, difusión del calor, desintegración radiactiva, aerodinámica, música, etc.

En geometría aparece en la espiral logarítmica, que simboliza la unión de lo interno y lo externo. También aparece en la catenaria, la cadena colgante, la forma que podemos observar en los tendidos eléctricos. La catenaria conecta geometría y gravedad. El número e es la base de los logaritmos neperianos. Gracias a los logaritmos, los productos se convierten en sumas, las potencias se convierten en productos, que a su vez se convierten en sumas, y así sucesivamente para las operaciones aritméticas de orden superior. Por lo tanto, los logaritmos unen la suma (en definitiva, el arquetipo número) con sus manifestaciones (las operaciones aritméticas derivadas).

La función e^x es una función que hace referencia a sí misma, pues es su propia derivada.
La raíz cuadrada de 2. Se expresa de forma recursiva y como fracción continua.
En general, toda raíz cuadrada de un número que no sea un cuadrado perfecto se puede expresar de infinitas maneras como función recursiva o como fracción continua. Se deduce de las fórmulas siguientes:
Ejemplos:
El logaritmo de 2.
El número Φ, la proporción áurea o número de oro, está presente en la geometría (pentágono, pentáculo, dodecaedro), en la aritmética (la serie de Fibonacci) y en las formas de la naturaleza.

La fórmula de Euler

La fórmula que mejor representa la interrelación entre estos arquetipos numéricos es la famosa fórmula de Euler:

e^xi

de la que se deduce: e^2πi = 1 y e^πi + 1 = 0

Esta última expresión tiene interesantes propiedades:

Conecta las 5 constantes más importantes de la matemátic: 0, 1, π, e, i.
A través de estas constantes, conecta las 4 ramas principales de la matemática clásica: aritmética (0 y 1), álgebra (i), geometría (π) y análisis (e).
Conecta las 3 operaciones aritméticas básicas: suma, producto y potencia.

De la fórmula de Euler se deducen las funciones trigonométricas seno y coseno, por lo que la trigometría es una consecuencia o derivación de la función exponencial ex y de la unidad imaginaria i:

^xi

^−xi

^xi

^−xi

Arquetipos Geométricos
El punto geométrico

El punto geométrico es un arquetipo porque no tiene extensión y sin embargo está presente en el espacio y en todas las figuras geométricas, es decir, conecta el no-espacio con el espacio, lo inmanifiesto y lo manifiesto. El punto es un elemento intermedio entre lo continuo y lo discreto.

El punto es el “cero geométrico”. Como el cero, simboliza la conciencia indiferenciada, el absoluto y el vacío. Sus manifestaciones primarias son circunferencias cuyo centro es el mismo punto geométrico. Un círculo se puede considerar como un punto manifestado.

Se puede establecer la analogía: Cero - Punto - Conjunto vacío - Secuencia vacía. Son 4 entidades que comparten la propiedad de “vacío”.

El punto es inexpresable, pertenece a un reino trascendente de no-espacio y no-tiempo. No obstante, pero puede representarse como un número o secuencia de números. Un punto se representa en el espacio cartesiano de n dimensiones mediante n números ordenados (secuencia). Es un arquetipo (el punto) representado por otro u otros arquetipos (los números).

El punto no tiene extensión, por lo que no tiene partes, de la misma manera que el cero es indivisible. Un punto es una dirección, no un contenido porque no tiene extensión.

El triángulo

El triángulo es la figura geométrica más esencial y arquetípica. Todas las demás figuras se pueden construir a partir del triángulo, incluyendo la circunferencia (es un conjunto de triángulos isósceles con un lado infinitamente pequeño.

Otras figuras geométricas arquetípicas son el círculo, el cuadrado, la cruz, la espiral, la esfera, el toro y los sólidos platónicos. Un arquetipo geométrico importante es la Vesica Piscis (dos anillos entrelazos por sus centros) y sus derivados: el nudo Borromeo (3 anillos interconectados), la Semilla de la Vida (7 anillos) y la Flor de la Vida (19 anillos). En general, son arquetipos las formas de la llamada “geometría sagrada”, cuyas características esenciales son la simplicidad y la simetría o la unión de opuestos.

La Geometría Analítica: La Unión de los Arquetipos de Número y Punto

Descartes unificó álgebra y geometría al crear la geometría analítica, aunque parece ser que Fermat también la inventó al mismo tiempo. El concepto clave fue el de “sistema de coordenadas” (que hoy llamamos “cartesiano”), que asignaba coordenadas (números) a los puntos del espacio geométrico. Esto supuso un importante salto evolutivo en matemática y en la ciencia en general. El principio es tan simple que cuesta creer que tardara 3.000 años en descubrirse. Todas las grandes ideas son simples, pero difíciles de encontrar por su obviedad.

Con el sistema cartesiano, un punto del plano es un par de números ordenados. Y los elementos geométricos se convierten en expresiones algebraicas. Por ejemplo, una recta es ax+by+c = 0 y una circunferencia es x²+y² = 0.

Ni Descartes ni Fermat se dieron cuenta realmente de la importancia del descubrimiento, pues el objetivo que ambos buscaban era la sistematización de la geometría euclidiana. Pero lo que lograron fue una nueva fundamentación de la matemática basada en el álgebra como lenguaje general. Descartes “algebrizó” la geometría, de tal forma que un problema de geometría podía reducirse a meras manipulaciones de álgebra. La geometría analítica unificó dos ramas de las matemáticas que antes aparecían radicalmente diferentes: la geometría (caracterizada por lo continuo) y el álgebra (caracterizada por lo discreto).

El uso de coordenadas no era nuevo, pues se habían utilizado a lo largo de la historia [ver Adenda]. El gran avance de Descartes fue, no solo el sistema de coordenadas, sino la utilización de patrones genéricos en forma de expresiones algebraicas para representar elementos geométricos.

La geometría analítica se puede considerar un meta-arquetipo, pues conecta el arquetipo de número con el arquetipo geométrico de punto. La conexión de ambos arquetipos produce la máxima creatividad.

La suma pitagórica (o geométrica)

Desde el punto de vista de la conciencia de los números, vamos a definir la suma pitagórica de dos números a y b como la diagonal del triángulo rectángulo formado con los catetos de longitud esos números: √(a²+b²). Y la resta pitagórica de a y b como √(a²−b²). Estas operaciones conectan la aritmética con la geometría.

Por ejemplo, la suma pitagórica de 1 y 2 es √(1²+2²) = √5 (su suma aritmética es 3). En el triángulo egipcio 3-4-5, el 5 es la suma pitagórica de 3 y 4 (su suma aritmética es 7). El 5 simboliza la unión del 4 (la Tierra) y el 3 (el Cielo) y es el símbolo del hombre. Según Platón, el hombre habita en el reino de Metaxy, un mundo intermedio entre el mundo físico temporal y el mundo trascendente de las Formas.

La suma pitagórica es una suma que une dos números a nivel geométrico, uno horizontal y el otro vertical. Es una suma de conciencia, al unir dos elementos duales. La suma pitagórica elemental es la diagonal de un cuadrado de lado 1. Su valor es √2. Es un número fractal, pues puede expresarse en función de sí mismo.

La suma pitagórica es diferente de la suma vectorial. La suma geométrica opera con números y la suma vectorial opera con vectores. No obstante, existe una relación entre ambas operaciones: la suma geométrica de a y b es el módulo de la suma de los vectores (a, 0) y (0, b).

Adenda
La Tetraktys pitagórica

Los pitagóricos utilizaron un símbolo sagrado muy simple para representar la totalidad, el principio de causalidad descendente y la unión de aritmética y geometría: la Tetraktys (“cuádruple” en griego), un triángulo formado por 10 puntos en 4 filas descendentes de 1, 2, 3 y 4 puntos. El nombre de este símbolo lo mencionaban en su juramento. Según los pitagóricos, la secuencia 1, 2, 3, 4 es la clave del universo.

Tetraktys pitagórica

El 1 (la mónada) es el origen y fuente de todas las cosas.
El 2 (la diada) es el principio de la dualidad. Simboliza la recta, con dos extremos (inicial y final). La dualidad existe potencialmente en el 1.
El 3 (la triada) es el principio del equilibrio y de la armonía de los opuestos. Simboliza el cielo y la conciencia. Está representado por el triángulo.
El 4 (el cuaternario), simboliza el mundo material y sus 4 elementos (fuego, aire, agua y tierra). Esta representado por el tetraedro.
El 10 resulta de sumar 1+2+3+4, los 4 principios numéricos. El 10 simboliza la totalidad, el retorno a la unidad, cerrando el ciclo, porque 1+0 = 1.

En la Tetraktys están representados los 4 primeros números triangulares: 1, 3, 6 y 10.

Historia del uso de coordenadas

Los agrimensores egipcios seguramente las utilizaron.
Los geómetras griegos, como Hiparco (200 a.C.), Menecmo (siglo IV a.C.) y Apolonio (262-190 a.C.) utilizaron coordenadas.
Ptolomeo (siglo II) las utilizó en sus mapas.
Los romanos dividían sus ciudades respecto a dos ejes (este-oeste y norte-sur) y organizando las calles con un sistema de coordenadas rectangulares.
En la Edad Media, Nicolás Oresme (siglo XIV), obispo de Lisieux, pensador original y uno de los fundadores de la ciencia moderna, dio un impulso notable a las coordenadas. Había observado que las curvas podían ser definidas mediante relaciones entre coordenadas y obtuvo una forma de ecuación, pero en aquel tiempo el álgebra no estaba desarrollada y no consiguió avanzar.
Fermat, en 1629, escribió unas notas donde utilizaba coordenadas para describir puntos y curvas.
Se cree que Descartes fue influenciado por las ideas de Oresme. En 1637, en su Discurso del Método, incluyó tres apéndices, uno de ellos dedicado a la geometría, donde expone su sistema de coordenadas que unificaba álgebra y geometría.

Según estas dos últimas fechas, Fermat se adelantó a Descartes, por lo que el “sistema cartesiano” muy bien podría denominarse “sistema fermatiano”.

Bibliografía

Aczel, Amir D. El cuaderno secreto de Descartes. Una historia verdadera sobre matemáticas, misticismo y el esfuerzo para entender el universo. Ediciones de Intervención Cultural, 2008.
Berlinski, David. Ascenso Infinito. Breve Historia de las Matemáticas. Debate, 2006.
Du Sautoy, Marcus. Simetría. Un viaje por los patrones de la naturaleza. Acantilado, 2009.
Ferrer, Eulalio. El lenguaje de las trilogías. Fondo de Cultura Económica, 2005.
Guénon, René. La gran triada. Obelisco, 1986.
Iambilichus. The Theology of Arithmetic. Red Wheel / Weiser, 1988.
Ifrah, Georges. Las cifras. Historia de una gran invención. Alianza Editorial, 1994.
Ifrah, Georges. Historia universal de las cifras. Espasa-Calpe, 2002.
Iglesias Janeiro, Jesús. La consciencia de los números. Kier, 1992.
Seife, Charles. Cero. La biografía de una idea peligrosa. Ellago Ediciones, 2006.
Schneider, Michael S. A Beginner´s Guide to Constructing the Universe. The Mathematical Archetypes of Nature, Art, and Science. Harper Collins, 1995.
Stewart, Ian; Golubitsky, Martin. ¿Es Dios un geómetra?. Drakontos, Crítica, Barcelona, 1995.

Nivel	Categoría de Números
Consciente (expresable)	Naturales
	Enteros
	Racionales
Consciente-Inconsciente	Irracionales expresables
Inconsciente (inexpresable)	Irracionales inexpresables